primitive binary trinomials, i.e., primitive polynomials over the field GF(2) with three terms including a nonzero constant term (i.e., 1), only exist for some orders (by order we mean the largest exponent). however, 5-term polynomials seem to always exist (not proven). we list the lexicographically smallest ones below, giving the exponents of the middle terms. for example, the entry "8: 4 3 2" means x^8 + x^4 + x^3 + x^2 + 1 (mod 2) is a primitive polynomial, and among all x^8 + x^A + x^B + x^C + 1, it minimizes A first, then B, then C.
there are no primitive binary tetranomials (4 terms). proof by contradiction: assume one exists. evaluate it at x=1. because there are 4 terms, the answer is 4, which is 0 (mod 2), so x=1 is a root of the hypothetical polynomial. the polynomial will therefore divide through evenly by (x-1), equivalently (x+1) because +1 = -1 (mod 2), meaning it is reducible, not irreducible. if it is reducible, it cannot be primitive (though I don't understand why).
order 5 has the smallest binary primitive pentanomial: x^5 + x^3 + x^2 + x + 1
the order 4 pentanomial x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 is irreducible but not primitive, because x^5 (mod x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 1, or x^5 + 1 = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x + 1). x^5 is less than x^15, the full period.
proving a polynomial with highest exponent N primitive requires the prime factorization of the number 2^N-1. with some exceptions, these have been computed by the Cunningham project up to 1499. the orders marked UNFACTORED below represent the state as of April 2022.
below is simplified Paris/GP code to find the lexicographically smallest pentanomial for a given order. it is simplified in that it does not look up UNFACTORED status.
penta(n)= my(cy=2^n-1); my(ff=factorint(cy)); nf=matsize(ff)[1]; for(k1=1, n-1, for(k2=1, k1-1, for(k3=1, k2-1, p=Mod(1,2)*x^n+x^k1+x^k2+x^k3+1; if(polisirreducible(p), g=Mod(x,p); good=1; for(j=1, nf, eo=cy/ff[j,1]; raised=g^eo; if(raised==1, good=0; break)); if(good, print(n": "k1" "k2" "k3); return(1)))))); 0;
5: 3 2 1
6: 4 3 1
7: 3 2 1
8: 4 3 2
9: 4 3 1
10: 4 3 1
11: 4 2 1
12: 6 4 1
13: 4 3 1
14: 5 3 1
15: 4 2 1
16: 5 3 2
17: 3 2 1
18: 5 2 1
19: 5 2 1
20: 6 4 1
21: 5 2 1
22: 5 4 3
23: 5 3 1
24: 4 3 1
25: 3 2 1
26: 6 2 1
27: 5 2 1
28: 6 4 1
29: 4 2 1
30: 6 4 1
31: 3 2 1
32: 7 6 2
33: 6 4 1
34: 8 4 3
35: 8 7 1
36: 8 7 1
37: 6 4 1
38: 6 5 1
39: 7 4 1
40: 5 4 3
41: 3 2 1
42: 7 4 3
43: 6 4 3
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45: 4 3 1
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50: 4 3 2
51: 6 3 1
52: 6 3 1
53: 6 2 1
54: 8 6 3
55: 6 2 1
56: 7 4 2
57: 5 3 2
58: 6 5 1
59: 7 4 2
60: 5 4 2
61: 5 2 1
62: 6 5 3
63: 5 4 1
64: 4 3 1
65: 4 3 1
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179: 4 2 1
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297: 5 4 1
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