[llsnfuxb] Example finite fields

Here are the multiplication, reciprocal, and exponentiation tables for a few small finite fields (Galois fields) of composite order (size).  A composite order necessarily means a prime raised to a power two or greater.  We don't give addition tables because they are not very interesting, just modular addition digit by digit without carry.

We follow the format of a similar presentation of a finite field of size 13.

Computations were done with Pari/GP whose Mod() notation can do finite field arithmetic reducing by a polynomial.  Source code.  The ffinit() function finds an irreducible polynomial (one of many possible irreducible polynomials) for a finite field of given size.  The values are given as the coefficients to the polynomial representation of elements, in big-endian order:

mffdisp(x,digits)=for(j=1,digits,i=digits-j;print1(lift(polcoeff(lift(x),i))));

In the multiplication table, we highlight in bold instances where the product is one, the multiplicative identity: these mark reciprocals.

In the exponentiation table, we again highlight outputs which are one.  Rows which have the minimal number of ones are primitive polynomials, generators of the multiplicative group.  In rows which aren't generators, the ones occur periodically, so the pattern depends on the factorization of (order-1).  We observe a phenomenon similar to Fermat's Little Theorem: the penultimate column is always one.  0^0 is undefined, so we mark it with a question mark.

Here is another example multiplication table for GF(3^2), though using a different reduction polynomial than below.

Future task: create an images of GF(p^3) tables, mapping each 3-component element to an RGB color.  This could be done for lower powers, too.

GF(2^2)

Order: 4
Reduction polynomial: Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2)

Multiplication

*	00	01	10	11
00	00	00	00	00
01	00	01	10	11
10	00	10	11	01
11	00	11	01	10

Multiplicative inverse (reciprocal)

x	01	10	11
x^-1	01	11	10

Raising to a power (exponentiation)

^	0	1	2	3	4
00	?	00	00	00	00
01	01	01	01	01	01
10	01	10	11	01	10
11	01	11	10	01	11

GF(2^3)

Order: 8
Reduction polynomial: Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)

Multiplication

*	000	001	010	011	100	101	110	111
000	000	000	000	000	000	000	000	000
001	000	001	010	011	100	101	110	111
010	000	010	100	110	101	111	001	011
011	000	011	110	101	001	010	111	100
100	000	100	101	001	111	011	010	110
101	000	101	111	010	011	110	100	001
110	000	110	001	111	010	100	011	101
111	000	111	011	100	110	001	101	010

Multiplicative inverse (reciprocal)

x	001	010	011	100	101	110	111
x^-1	001	110	100	011	111	010	101

Raising to a power (exponentiation)

^	0	1	2	3	4	5	6	7	8
000	?	000	000	000	000	000	000	000	000
001	001	001	001	001	001	001	001	001	001
010	001	010	100	101	111	011	110	001	010
011	001	011	101	010	110	111	100	001	011
100	001	100	111	110	010	101	011	001	100
101	001	101	110	100	011	010	111	001	101
110	001	110	011	111	101	100	010	001	110
111	001	111	010	011	100	110	101	001	111

GF(2^4)

Order: 16
Reduction polynomial: Mod(1, 2)*x^4 + Mod(1, 2)*x^3 + Mod(1, 2)*x^2 + Mod(1, 2)*x + Mod(1, 2)

Multiplication

*	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000
0001	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0010	0000	0010	0100	0110	1000	1010	1100	1110	1111	1101	1011	1001	0111	0101	0011	0001
0011	0000	0011	0110	0101	1100	1111	1010	1001	0111	0100	0001	0010	1011	1000	1101	1110
0100	0000	0100	1000	1100	1111	1011	0111	0011	0001	0101	1001	1101	1110	1010	0110	0010
0101	0000	0101	1010	1111	1011	1110	0001	0100	1001	1100	0011	0110	0010	0111	1000	1101
0110	0000	0110	1100	1010	0111	0001	1011	1101	1110	1000	0010	0100	1001	1111	0101	0011
0111	0000	0111	1110	1001	0011	0100	1101	1010	0110	0001	1000	1111	0101	0010	1011	1100
1000	0000	1000	1111	0111	0001	1001	1110	0110	0010	1010	1101	0101	0011	1011	1100	0100
1001	0000	1001	1101	0100	0101	1100	1000	0001	1010	0011	0111	1110	1111	0110	0010	1011
1010	0000	1010	1011	0001	1001	0011	0010	1000	1101	0111	0110	1100	0100	1110	1111	0101
1011	0000	1011	1001	0010	1101	0110	0100	1111	0101	1110	1100	0111	1000	0011	0001	1010
1100	0000	1100	0111	1011	1110	0010	1001	0101	0011	1111	0100	1000	1101	0001	1010	0110
1101	0000	1101	0101	1000	1010	0111	1111	0010	1011	0110	1110	0011	0001	1100	0100	1001
1110	0000	1110	0011	1101	0110	1000	0101	1011	1100	0010	1111	0001	1010	0100	1001	0111
1111	0000	1111	0001	1110	0010	1101	0011	1100	0100	1011	0101	1010	0110	1001	0111	1000

Multiplicative inverse (reciprocal)

x	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
x^-1	0001	1111	1010	1000	0110	0101	1001	0100	0111	0011	1110	1101	1100	1011	0010

Raising to a power (exponentiation)

^	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
0000	?	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000	0000
0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001	0001
0010	0001	0010	0100	1000	1111	0001	0010	0100	1000	1111	0001	0010	0100	1000	1111	0001	0010
0011	0001	0011	0101	1111	1110	1101	1000	0111	1001	0100	1100	1011	0010	0110	1010	0001	0011
0100	0001	0100	1111	0010	1000	0001	0100	1111	0010	1000	0001	0100	1111	0010	1000	0001	0100
0101	0001	0101	1110	1000	1001	1100	0010	1010	0011	1111	1101	0111	0100	1011	0110	0001	0101
0110	0001	0110	1011	0100	0111	1101	1111	0011	1010	0010	1100	1001	1000	1110	0101	0001	0110
0111	0001	0111	1010	1000	0110	1101	0010	1110	1011	1111	1100	0101	0100	0011	1001	0001	0111
1000	0001	1000	0010	1111	0100	0001	1000	0010	1111	0100	0001	1000	0010	1111	0100	0001	1000
1001	0001	1001	0011	0100	0101	1100	1111	1011	1110	0010	1101	0110	1000	1010	0111	0001	1001
1010	0001	1010	0110	0010	1011	1100	0100	1001	0111	1000	1101	1110	1111	0101	0011	0001	1010
1011	0001	1011	0111	1111	1010	1100	1000	0101	0110	0100	1101	0011	0010	1001	1110	0001	1011
1100	0001	1100	1101	0001	1100	1101	0001	1100	1101	0001	1100	1101	0001	1100	1101	0001	1100
1101	0001	1101	1100	0001	1101	1100	0001	1101	1100	0001	1101	1100	0001	1101	1100	0001	1101
1110	0001	1110	1001	0010	0011	1101	0100	0110	0101	1000	1100	1010	1111	0111	1011	0001	1110
1111	0001	1111	1000	0100	0010	0001	1111	1000	0100	0010	0001	1111	1000	0100	0010	0001	1111

GF(3^2)

Order: 9
Reduction polynomial: Mod(1, 3)*x^2 + Mod(1, 3)*x + Mod(2, 3)

Multiplication

*	00	01	02	10	11	12	20	21	22
00	00	00	00	00	00	00	00	00	00
01	00	01	02	10	11	12	20	21	22
02	00	02	01	20	22	21	10	12	11
10	00	10	20	21	01	11	12	22	02
11	00	11	22	01	12	20	02	10	21
12	00	12	21	11	20	02	22	01	10
20	00	20	10	12	02	22	21	11	01
21	00	21	12	22	10	01	11	02	20
22	00	22	11	02	21	10	01	20	12

Multiplicative inverse (reciprocal)

x	01	02	10	11	12	20	21	22
x^-1	01	02	11	10	21	22	12	20

Raising to a power (exponentiation)

^	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
00	?	00	00	00	00	00	00	00	00	00
01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01
02	01	02	01	02	01	02	01	02	01	02
10	01	10	21	22	02	20	12	11	01	10
11	01	11	12	20	02	22	21	10	01	11
12	01	12	02	21	01	12	02	21	01	12
20	01	20	21	11	02	10	12	22	01	20
21	01	21	02	12	01	21	02	12	01	21
22	01	22	12	10	02	11	21	20	01	22

GF(3^3)

Order: 27
Reduction polynomial: Mod(1, 3)*x^3 + Mod(1, 3)*x^2 + Mod(1, 3)*x + Mod(2, 3)

Multiplication

*	000	001	002	010	011	012	020	021	022	100	101	102	110	111	112	120	121	122	200	201	202	210	211	212	220	221	222
000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000
001	000	001	002	010	011	012	020	021	022	100	101	102	110	111	112	120	121	122	200	201	202	210	211	212	220	221	222
002	000	002	001	020	022	021	010	012	011	200	202	201	220	222	221	210	212	211	100	102	101	120	122	121	110	112	111
010	000	010	020	100	110	120	200	210	220	221	201	211	021	001	011	121	101	111	112	122	102	212	222	202	012	022	002
011	000	011	022	110	121	102	220	201	212	021	002	010	101	112	120	211	222	200	012	020	001	122	100	111	202	210	221
012	000	012	021	120	102	111	210	222	201	121	100	112	211	220	202	001	010	022	212	221	200	002	011	020	122	101	110
020	000	020	010	200	220	210	100	120	110	112	102	122	012	002	022	212	202	222	221	211	201	121	111	101	021	011	001
021	000	021	012	210	201	222	120	111	102	212	200	221	122	110	101	002	020	011	121	112	100	001	022	010	211	202	220
022	000	022	011	220	212	201	110	102	121	012	001	020	202	221	210	122	111	100	021	010	002	211	200	222	101	120	112
100	000	100	200	221	021	121	112	212	012	022	122	222	210	010	110	101	201	001	011	111	211	202	002	102	120	220	020
101	000	101	202	201	002	100	102	200	001	122	220	021	020	121	222	221	022	120	211	012	110	112	210	011	010	111	212
102	000	102	201	211	010	112	122	221	020	222	021	120	100	202	001	011	110	212	111	210	012	022	121	220	200	002	101
110	000	110	220	021	101	211	012	122	202	210	020	100	201	011	121	222	002	112	120	200	010	111	221	001	102	212	022
111	000	111	222	001	112	220	002	110	221	010	121	202	011	122	200	012	120	201	020	101	212	021	102	210	022	100	211
112	000	112	221	011	120	202	022	101	210	110	222	001	121	200	012	102	211	020	220	002	111	201	010	122	212	021	100
120	000	120	210	121	211	001	212	002	122	101	221	011	222	012	102	010	100	220	202	022	112	020	110	200	111	201	021
121	000	121	212	101	222	010	202	020	111	201	022	110	002	120	211	100	221	012	102	220	011	200	021	112	001	122	210
122	000	122	211	111	200	022	222	011	100	001	120	212	112	201	020	220	012	101	002	121	210	110	202	021	221	010	102
200	000	200	100	112	012	212	221	121	021	011	211	111	120	020	220	202	102	002	022	222	122	101	001	201	210	110	010
201	000	201	102	122	020	221	211	112	010	111	012	210	200	101	002	022	220	121	222	120	021	011	212	110	100	001	202
202	000	202	101	102	001	200	201	100	002	211	110	012	010	212	111	112	011	210	122	021	220	221	120	022	020	222	121
210	000	210	120	212	122	002	121	001	211	202	112	022	111	021	201	020	200	110	101	011	221	010	220	100	222	102	012
211	000	211	122	222	100	011	111	022	200	002	210	121	221	102	010	110	021	202	001	212	120	220	101	012	112	020	201
212	000	212	121	202	111	020	101	010	222	102	011	220	001	210	122	200	112	021	201	110	022	100	012	221	002	211	120
220	000	220	110	012	202	122	021	211	101	120	010	200	102	022	212	111	001	221	210	100	020	222	112	002	201	121	011
221	000	221	112	022	210	101	011	202	120	220	111	002	212	100	021	201	122	010	110	001	222	102	020	211	121	012	200
222	000	222	111	002	221	110	001	220	112	020	212	101	022	211	100	021	210	102	010	202	121	012	201	120	011	200	122

Multiplicative inverse (reciprocal)

x	001	002	010	011	012	020	021	022	100	101	102	110	111	112	120	121	122	200	201	202	210	211	212	220	221	222
x^-1	001	002	111	202	120	222	210	101	122	022	112	212	010	102	012	220	100	211	221	011	021	200	110	121	201	020

Raising to a power (exponentiation)

^	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27
000	?	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000	000
001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001	001
002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002	001	002
010	001	010	100	221	022	220	012	120	121	101	201	122	111	001	010	100	221	022	220	012	120	121	101	201	122	111	001	010
011	001	011	121	222	221	210	122	200	012	102	010	110	101	002	022	212	111	112	120	211	100	021	201	020	220	202	001	011
012	001	012	111	220	122	022	201	221	101	100	121	010	120	001	012	111	220	122	022	201	221	101	100	121	010	120	001	012
020	001	020	100	112	022	110	012	210	121	202	201	211	111	002	010	200	221	011	220	021	120	212	101	102	122	222	001	020
021	001	021	111	110	122	011	201	112	101	200	121	020	120	002	012	222	220	211	022	102	221	202	100	212	010	210	001	021
022	001	022	121	111	221	120	122	100	012	201	010	220	101	001	022	121	111	221	120	122	100	012	201	010	220	101	001	022
100	001	100	022	012	121	201	111	010	221	220	120	101	122	001	100	022	012	121	201	111	010	221	220	120	101	122	001	100
101	001	101	220	010	201	012	100	122	120	221	111	121	022	001	101	220	010	201	012	100	122	120	221	111	121	022	001	101
102	001	102	120	011	010	211	121	110	100	222	101	021	221	002	201	210	022	020	122	212	220	200	111	202	012	112	001	102
110	001	110	201	200	120	222	022	202	010	021	122	112	121	002	220	102	100	210	111	011	101	020	012	211	221	212	001	110
111	001	111	122	201	101	121	120	012	220	022	221	100	010	001	111	122	201	101	121	120	012	220	022	221	100	010	001	111
112	001	112	012	202	111	200	220	212	122	020	022	210	201	002	221	021	101	222	100	110	121	211	010	011	120	102	001	112
120	001	120	010	121	100	101	221	201	022	122	220	111	012	001	120	010	121	100	101	221	201	022	122	220	111	012	001	120
121	001	121	221	122	012	010	101	022	111	120	100	201	220	001	121	221	122	012	010	101	022	111	120	100	201	220	001	121
122	001	122	101	120	220	221	010	111	201	121	012	022	100	001	122	101	120	220	221	010	111	201	121	012	022	100	001	122
200	001	200	022	021	121	102	111	020	221	110	120	202	122	002	100	011	012	212	201	222	010	112	220	210	101	211	001	200
201	001	201	120	022	010	122	121	220	100	111	101	012	221	001	201	120	022	010	122	121	220	100	111	101	012	221	001	201
202	001	202	220	020	201	021	100	211	120	112	111	212	022	002	101	110	010	102	012	200	122	210	221	222	121	011	001	202
210	001	210	010	212	100	202	221	102	022	211	220	222	012	002	120	020	121	200	101	112	201	011	122	110	111	021	001	210
211	001	211	101	210	220	112	010	222	201	212	012	011	100	002	122	202	120	110	221	020	111	102	121	021	022	200	001	211
212	001	212	221	211	012	020	101	011	111	210	100	102	220	002	121	112	122	021	010	202	022	222	120	200	201	110	001	212
220	001	220	201	100	120	111	022	101	010	012	122	221	121	001	220	201	100	120	111	022	101	010	012	122	221	121	001	220
221	001	221	012	101	111	100	220	121	122	010	022	120	201	001	221	012	101	111	100	220	121	122	010	022	120	201	001	221
222	001	222	122	102	101	212	120	021	220	011	221	200	010	002	111	211	201	202	121	210	012	110	022	112	100	020	001	222

GF(5^2)

Order: 25
Reduction polynomial: Mod(1, 5)*x^2 + Mod(1, 5)*x + Mod(1, 5)

Multiplication

*	00	01	02	03	04	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31	32	33	34	40	41	42	43	44
00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00
01	00	01	02	03	04	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31	32	33	34	40	41	42	43	44
02	00	02	04	01	03	20	22	24	21	23	40	42	44	41	43	10	12	14	11	13	30	32	34	31	33
03	00	03	01	04	02	30	33	31	34	32	10	13	11	14	12	40	43	41	44	42	20	23	21	24	22
04	00	04	03	02	01	40	44	43	42	41	30	34	33	32	31	20	24	23	22	21	10	14	13	12	11
10	00	10	20	30	40	44	04	14	24	34	33	43	03	13	23	22	32	42	02	12	11	21	31	41	01
11	00	11	22	33	44	04	10	21	32	43	03	14	20	31	42	02	13	24	30	41	01	12	23	34	40
12	00	12	24	31	43	14	21	33	40	02	23	30	42	04	11	32	44	01	13	20	41	03	10	22	34
13	00	13	21	34	42	24	32	40	03	11	43	01	14	22	30	12	20	33	41	04	31	44	02	10	23
14	00	14	23	32	41	34	43	02	11	20	13	22	31	40	04	42	01	10	24	33	21	30	44	03	12
20	00	20	40	10	30	33	03	23	43	13	11	31	01	21	41	44	14	34	04	24	22	42	12	32	02
21	00	21	42	13	34	43	14	30	01	22	31	02	23	44	10	24	40	11	32	03	12	33	04	20	41
22	00	22	44	11	33	03	20	42	14	31	01	23	40	12	34	04	21	43	10	32	02	24	41	13	30
23	00	23	41	14	32	13	31	04	22	40	21	44	12	30	03	34	02	20	43	11	42	10	33	01	24
24	00	24	43	12	31	23	42	11	30	04	41	10	34	03	22	14	33	02	21	40	32	01	20	44	13
30	00	30	10	40	20	22	02	32	12	42	44	24	04	34	14	11	41	21	01	31	33	13	43	23	03
31	00	31	12	43	24	32	13	44	20	01	14	40	21	02	33	41	22	03	34	10	23	04	30	11	42
32	00	32	14	41	23	42	24	01	33	10	34	11	43	20	02	21	03	30	12	44	13	40	22	04	31
33	00	33	11	44	22	02	30	13	41	24	04	32	10	43	21	01	34	12	40	23	03	31	14	42	20
34	00	34	13	42	21	12	41	20	04	33	24	03	32	11	40	31	10	44	23	02	43	22	01	30	14
40	00	40	30	20	10	11	01	41	31	21	22	12	02	42	32	33	23	13	03	43	44	34	24	14	04
41	00	41	32	23	14	21	12	03	44	30	42	33	24	10	01	13	04	40	31	22	34	20	11	02	43
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43	00	43	31	24	12	41	34	22	10	03	32	20	13	01	44	23	11	04	42	30	14	02	40	33	21
44	00	44	33	22	11	01	40	34	23	12	02	41	30	24	13	03	42	31	20	14	04	43	32	21	10

Multiplicative inverse (reciprocal)

x	01	02	03	04	10	11	12	13	14	20	21	22	23	24	30	31	32	33	34	40	41	42	43	44
x^-1	01	03	02	04	44	40	32	21	31	22	13	20	43	41	33	14	12	30	42	11	24	34	23	10

Raising to a power (exponentiation)

^	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
00	?	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00	00
01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01	01
02	01	02	04	03	01	02	04	03	01	02	04	03	01	02	04	03	01	02	04	03	01	02	04	03	01	02
03	01	03	04	02	01	03	04	02	01	03	04	02	01	03	04	02	01	03	04	02	01	03	04	02	01	03
04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04	01	04
10	01	10	44	01	10	44	01	10	44	01	10	44	01	10	44	01	10	44	01	10	44	01	10	44	01	10
11	01	11	10	04	44	40	01	11	10	04	44	40	01	11	10	04	44	40	01	11	10	04	44	40	01	11
12	01	12	33	13	40	41	03	31	44	34	20	23	04	43	22	42	10	14	02	24	11	21	30	32	01	12
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20	01	20	11	03	10	33	04	30	44	02	40	22	01	20	11	03	10	33	04	30	44	02	40	22	01	20
21	01	21	02	42	04	34	03	13	01	21	02	42	04	34	03	13	01	21	02	42	04	34	03	13	01	21
22	01	22	40	02	44	30	04	33	10	03	11	20	01	22	40	02	44	30	04	33	10	03	11	20	01	22
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