prime multipliers small subgroup

a(n)=2*p*a(n-1)+1 where p is unity or odd prime.

q=3; for(j=1,1000, forprime(ii=1,500000, if(ii==2,i=2,i=2*ii); p=q*i+1; if(isprime(p)==1, print(j," ",i," ",log(p)/log(2));break)); q=p)

1 3 5 1 3 17 13 3 17 277 157 3 11 19 67 307 3 11 673 37 43 181 211 409 127 877 397 13 31 19 337 103 199 1 433 3631 643 1597 4561 337 4861 571 709 283 1861 457 907 271 2617 6529 3847 61 127 883 3121 4813 2017 4831 1699 109 3793 823 739 1933 2659 577 4567 271 73 1597 2371 5737 4651 601 631 4057 8329 4273 787 5527 1237 2203 8389 307 3 1811 6607 1783 103 3907 15643 223 61 6271 67 2377 5527 2677 2131 8011 16267 1747 1201 3307 1033 6823 151 1327 14557 6361 79 3943 5431 8929 3037 8707 1933 7177 3469 24007 6397 1459 109 5827 157 379 9433 24631 4423 181 283 6967 4261 3019 9949 3109 3469 859 5407 4999 2347 3253 18289 1627 5347 2131 823 1303 151 157 7 3697 7867 2887 409 1123 11887 18457 10723 8317 4987 577 1129 487 541 6691 16057 3313 2467 13417 8287 3511 97 23719 13 12721 1579 2137 3877 733 1489 16333 1 2311 331 79 8461 1063 38653 8431 10477 5059 21379 1153 23131 13 1741 57037 13177 30253 9697 2671 829 8863 5113 12781 8269 31327 457 12421 1567 3319 6121 13933 2551 12253 42751 3499 139 13879 52807 13327 8599 16879 5077 7699 58153 12277 2797 24229 23773 10687 8089 4423 5701 3559 8893 15307 4567 17467 193 15139 26371 11083 43 23017 12919 14827 27409 17923 10477 16699 1879 787 11491 4957 34273 9967 5923 2719 421 20287 3559 10093 30181 43201 11941 6991 3259 8863 17137 6163 11953 54121 2239 7507 613 17929 4561 46819 10399 35089 34147 15139 30223 5557 7489 30427 661 709 2143 21187 86869 157 4861 11527 41113 907 1951 13513 2131 12853 997 55663 9649 67843 12781 12967 7369 29383 15823 22291 1249 6373 3331 9931 19231 42577 32479 19087 8287 18493 6397 4093 57457 1543 21871 27397 457 45013 7057 1747 7603 14197 28393 11551 10453 10831 27457 421 56599 9001 2089 11827 5689 14143 22639 8011 17749 3727 11839 643 53197 20323 6961 20287 739 30577 7717 25537 17011 619 499 54583 34603 7621 229 2161 61057 35869 4327

Ending at 4548 bit prime.